純律小實驗 | jackoo 3 a.m.

前言

本身學過一點鋼琴，一直不知道為啥一個八度黑鍵白鍵分 12 個，剛好最近被推播了這個，非常神奇，非常有趣，在這裡紀錄一下純律的推算。

已知某音高 $ \lambda_a = $ $ \text{Hz} $ ，我們會發現 $ 2\lambda_a $ 是相同音高，下一個八度。

由此可知，藉由 $ \times 2^n $ 可以將某個音高提升 $ n $ 個八度。

冪次為負同樣適用，例如：
$ 2^{-1}\lambda_a $
$ 2^{-2}\lambda_a $

可能是比例的關係，多個頻率之間越穩定，聽起來越和諧。

例如 $ \lambda_a + 2\lambda_a $ 。

在一個八度的正中央，也就是 $ \cfrac{3}{2}\lambda_a $ 。

$ \lambda_a + \cfrac{3}{2}\lambda_a $ 聽起來也是十分和諧的，因為頻率間比值數字單純。

已經知道五度是 $ \cfrac{3}{2}\lambda_a $，而且五度關係的音都很穩定，如何用這個方法找出一個八度內所有的音，那便是五度相生：

所以從 $ \lambda_a $ 到 $ 2\lambda_a $ 迭代：

$ \lambda_a $
$ \cfrac{3}{2} \lambda_a $
$ \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{9}{4} \lambda_a $ ，降低八度 $ \cfrac{9}{4} \cdot \cfrac{1}{2} \lambda_a = \cfrac{9}{8} \lambda_a $
$ \cfrac{9}{8} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{27}{16} \lambda_a $
$ \cfrac{27}{16} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{81}{32} \lambda_a $ ，降低八度 $ \cfrac{81}{32} \cdot \cfrac{1}{2} \lambda_a = \cfrac{81}{64} \lambda_a $
$ \cfrac{81}{64} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{243}{128} \lambda_a $
$ \cfrac{243}{128} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{729}{256} \lambda_a $ ，降低八度 $ \cfrac{729}{256} \cdot \cfrac{1}{2} \lambda_a = \cfrac{729}{512} \lambda_a $
$ \cfrac{729}{512} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{2187}{1024} \lambda_a $ ，降低八度 $ \cfrac{2187}{1024} \cdot \cfrac{1}{2} \lambda_a = \cfrac{2187}{2048} \lambda_a $
$ \cfrac{2187}{2048} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{6561}{4096} \lambda_a $
$ \cfrac{6561}{4096} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{19683}{8192} \lambda_a $ ，降低八度 $ \cfrac{19683}{8192} \cdot \cfrac{1}{2} \lambda_a = \cfrac{19683}{16384} \lambda_a $
$ \cfrac{19683}{16384} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{59049}{32768} \lambda_a $
$ \cfrac{59049}{32768} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{177147}{65536} \lambda_a $ ，降低八度 $ \cfrac{177147}{65536} \cdot \cfrac{1}{2} \lambda_a = \cfrac{177147}{131072} \lambda_a $

找到第 13 個音 $ \cfrac{177147}{131072} \cdot \cfrac{3}{2} \lambda_a = \cfrac{531441}{262144} \lambda_a $ ，聽起來跟 $ 2 \lambda_a $ 一樣，但又不完全一樣。

而在繼續迭代也沒有意義了，第 13 個音就直接用$ 2 \lambda_a $。

正常來說五度和聲都是 $ 2:3 $ 的關係，有聽出來 6 是 $ 177147:262144 $ 嗎？也就是所謂的狼五度。

雖然我自己聽起來是還好。。。